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3/5/2013

En mathématique deux artifices, qui se sont avérés très féconds, ont été introduits au cours de l’histoire : le zéro et le nombre imaginaire ou complexe i= racine carrée de -1.

Wikipédia présente des articles sur ces deux concepts et en explique les usages et les implications mathématiques.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Histoire_des_nombres_complexes

http://fr.wikipedia.org/wiki/Z%C3%A9ro

Zéro est à la fois un chiffre désignant une position sur des échelles de valeurs (nombres, temps) et un nombre désignant l’absence d’objet ou de quantité. Son introduction dans l’écriture mathématique au Moyen-âge a grandement simplifié les processus de calcul des additions, multiplications, etc.

Le nombre imaginaire i=racine carrée de -1 est à la base d’une mathématique des nombres dits complexes. Elle facilite la représentation et la résolution de problèmes en optique, en électricité ou en mécanique quantique

Le mathématicien Augustin Louis Cauchy (1789-1857) est resté méfiant concernant les nombres complexes qui ne sont, selon lui, que des expressions symboliques, « une combinaison de signes algébriques qui ne signifie rien en elle-même » mais qui permet d’« écrire sous forme abrégée des résultats assez compliqués en apparence »

, la formule d’Euler (1707-1783)  euler, qui lui aurait fait dire qu’elle est la preuve que Dieu existe, indique l’intrication harmonieuse des nombres, entiers négatifs (-1), irrationnels (e et π) et imaginaire (i).

Mon propos est d’examiner si ces objets mathématiques 0 et i relèveraient de caractéristiques profondes au cœur de la réalité du monde. En d’autres termes, peuvent-ils constituer des outils de compréhension du monde au-delà des mathématiques ? Au moins sous forme de métaphores, le monde fonctionne-t-il grâce au zéro et à l’imaginaire ?

Le zéro est partout

Le soi existe par opposition au non-soi qu’on pourrait nommer le zéro-soi.

Le présent est un instant de durée nulle. Il est le passage du passé vers le futur. La conscience et la mémoire donnent une certaine épaisseur à ce présent, qui n’est plus entièrement nul.

Il n’existe probablement pas de temps zéro de création de l’univers.

Cependant pour nos modes de raisonnement et de vision du monde, il est pratique de considérer des temps zéro à l’origine des choses et des durées approximativement nulles.

Le zéro intervient dans les cycles planétaires ou biologiques, dans les processus de transformation lors des basculements de phases physiques ou temporelles.

La mort est une remise à zéro.

Le non-vouloir et le non-agir taoïstes, le vide de la méditation, l’abandon de l’action dans le sommeil constituent des passages nécessaires à la reconstitution des énergies des organismes vivants.

Les théories actuelles de la physique attribuent de l’énergie au vide. La matière émerge des fluctuations du vide.

Le zéro dans tous ces exemples semble ne jamais être le néant absolu, il est toujours le zéro de quelque chose.

L’imaginaire est partout

Le réel se construit à partir du concret et de l’abstrait, c’est-à-dire d’univers évoluant dans des dimensions différentes à l’instar des nombre réels et imaginaires.

En physique, par exemple, pour le calcul de circuits électriques comportant des résistances, capacités et selfs, on introduit les nombres complexes qui sont une combinaison de nombres réels et imaginaires (z=a+i.b ; z nombre complexe, a et b nombres réels, i = racine carrée de -1, nombre imaginaire), on effectue les opérations dans cet univers complexe et on revient à celui des nombres réels purs pour déterminer les valeurs et propriétés physiques des systèmes (tension, courant, résistance, etc.). J’entrevois dans cet exemple mathématique une analogie avec le fonctionnement des sociétés humaines et leurs mythes. Les mythes sont l’imaginaire avec ses propres règles de fonctionnement. Le processus d’élaboration de la réalité se déroule dans un espace complexe fait de réalité et d’imaginaire.

Les mythes seraient des ensembles des croyances nécessaires à l’élaboration du réel.

Les images fractales, par exemple l’ensemble de Mandelbrot, fournissent également des éléments de réflexion sur l’élaboration d’objets complexes.

L’ensemble de Mandelbrot est une fractale définie comme l’ensemble des points c du plan complexe pour lesquels la suite définie par récurrence par :mandel

Les caractéristiques de ces ensembles sont les suivantes :

          Ils sont élaborés dans une dimension complexe abstraite par itérations de cette suite.

          Leur représentation se fait par passage de l’espace des nombres imaginaires dans celui des nombres réels.

          Le processus de changement d’espace est différent de celui des itérations dans l’espace imaginaire. Il consiste à compter le nombre d’itérations avant que la suite ne diverge.

          Les structures apparaissent aux frontières entre la non divergence et la divergence immédiate de la suite et sont la représentation de la rapidité de divergence de celle-ci.

Le monde réel fonctionne partiellement à l’image de ce processus d’élaboration des images fractales : algorithme simple, complexité des résultats, algorithmes basés sur la récursivité, sur le réel et l’imaginaire ainsi que sur des logiques différentes à différents stades d’élaboration, apparition de structures réelles stables aux frontières. Les structures fractales sont quasi auto-similaires jusqu’à l’infiniment petit.

La réalité à notre niveau humain est tributaire de réalités infiniment petites et infiniment grandes, des particules élémentaires au cosmos dans son ensemble.

Ce ne sont là que quelques analogies du fonctionnement du monde réel qui est plus complexe que les images fractales. Ces images sont complexes, mais elles émanent d’algorithmes entièrement déterministes. La complexité du monde réel est, disons, plus complexe car elle fait intervenir le hasard, les interactions d’agents multiples, les retro-actions des effets sur les causes.

Histoire de l’imaginaire.

On pourrait dire que l’imaginaire a de tout temps accompagné l’hominisation de l’espèce. Les premiers signes en sont reliquats des rites funéraires qui instituent un ordre temporel en postulant un ordre au-delà de la mort. Les religions, les objets d’art, les institutions, les outils, les modes de vie reposent sur des imaginaires, du virtuel, relevant autant de croyances que de raison.

L’évolution anthropologique a dû sans cesse se frayer un chemin pour trouver le juste équilibre entre le réel concret, la raison et les croyances et virtuelles. La morale et le bon sens sont peut-être simplement l’équilibre fragile et mouvant entre le réel et l’imaginaire.

Les aléas de cette quête du juste chemin ont mené souvent vers les catastrophes du trop de réel ou du trop d’imaginaire. Les systèmes humains ont souvent tendance à enfermer leur réel dans les frontières de leur imaginaire, c’est autant le cas des personnalités égocentriques, que des systèmes idéologiques religieux ou professionnels.

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